দুটি সংখ্যার ক্ষেত্রে-

$i. MD = 0.5 x R$

$ii. SD = 0.5 x R$ 

$iii. S{D}^2 = 0.5 x R$

নিচের কোনটি সঠিক?

দুইটি সংখ্যার ক্ষেত্রে গড় ব্যবধান (Mean Deviation - MD) এবং আদর্শ বিচ্যুতি (Standard Deviation - SD) নির্ণয়ের জন্য আমরা সংখ্যা দুটিকে \(x_1\) এবং \(x_2\) ধরে নিতে পারি।

ধরি, সংখ্যা দুটি হলো \(x_1\) এবং \(x_2\)।

1. পরিসর (Range - R):

পরিসর হলো সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মানের পার্থক্য।

\(R = |x_2 - x_1|\) (ধরি, \(x_2 > x_1\), তাহলে \(R = x_2 - x_1\))

2. গাণিতিক গড় (Mean - \(\bar{x}\)):

\(\bar{x} = \frac{x_1 + x_2}{2}\)

3. গড় ব্যবধান (Mean Deviation - MD):

গড় ব্যবধান হলো প্রতিটি মান থেকে গড়ের পরম পার্থক্যের গড়।

\(MD = \frac{\sum |x_i - \bar{x}|}{N}\)

এখানে, \(N=2\)।

\(|x_1 - \bar{x}| = |x_1 - \frac{x_1 + x_2}{2}| = |\frac{2x_1 - x_1 - x_2}{2}| = |\frac{x_1 - x_2}{2}| = \frac{x_2 - x_1}{2}\)

\(|x_2 - \bar{x}| = |x_2 - \frac{x_1 + x_2}{2}| = |\frac{2x_2 - x_1 - x_2}{2}| = |\frac{x_2 - x_1}{2}| = \frac{x_2 - x_1}{2}\)

\(MD = \frac{\frac{x_2 - x_1}{2} + \frac{x_2 - x_1}{2}}{2} = \frac{2 \times \frac{x_2 - x_1}{2}}{2} = \frac{x_2 - x_1}{2}\)

যেহেতু \(R = x_2 - x_1\), আমরা লিখতে পারি:

\(MD = \frac{R}{2} = 0.5 \times R\)

সুতরাং, i. \(MD = 0.5 \times R\) বিবৃতিটি সঠিক।

4. আদর্শ বিচ্যুতি (Standard Deviation - SD):

আদর্শ বিচ্যুতি হলো ভেদাঙ্কের বর্গমূল। ভেদাঙ্ক (Variance - \(\sigma^2\)) হলো প্রতিটি মান থেকে গড়ের বর্গের পার্থক্যের গড়।

\(\sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{N}\)

এখানে, \(N=2\)।

\((x_1 - \bar{x})^2 = (\frac{x_1 - x_2}{2})^2 = (\frac{-(x_2 - x_1)}{2})^2 = \frac{(x_2 - x_1)^2}{4}\)

\((x_2 - \bar{x})^2 = (\frac{x_2 - x_1}{2})^2 = \frac{(x_2 - x_1)^2}{4}\)

\(\sigma^2 = \frac{\frac{(x_2 - x_1)^2}{4} + \frac{(x_2 - x_1)^2}{4}}{2} = \frac{2 \times \frac{(x_2 - x_1)^2}{4}}{2} = \frac{(x_2 - x_1)^2}{4}\)

যেহেতু \(R = x_2 - x_1\), আমরা লিখতে পারি:

\(\sigma^2 = \frac{R^2}{4}\)

আদর্শ বিচ্যুতি (SD):

\(SD = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{\frac{R^2}{4}} = \frac{R}{2}\)

সুতরাং, ii. \(SD = 0.5 \times R\) বিবৃতিটি সঠিক।

5. বিবৃতি iii. \(SD^2 = 0.5 \times R\):

আমরা পেয়েছি \(SD^2 = \frac{R^2}{4}\)।

এটি \(0.5 \times R\) বা \(\frac{R}{2}\) এর সমান নয়, যদি না \(R=2\) হয়। সাধারণ ক্ষেত্রে এটি সঠিক নয়।

উপসংহার: বিবৃতি i এবং ii সঠিক।